Đã nghe và đã thấy tài của cư sĩ qua nhiều câu đố, mà đặc biệt là dãy số, hoangtu xin tiên sinh giải giùm bài này:
1/1+1/4+1/9+....+1/(n^2) có giới hạn ko? Tìm giới hạn đó khi n ---> vô cùng.
Hoangtu đã mò ra đáp số nhưng mà chứng minh thì chưa được. Nhờ tiên sinh nha.
Dễ thấy đây là dãy số tăng , muốn chứng minh nó hội tụ ( tức là có giới hạn ) ta chỉ cần chứng minh nó có cận trên .
Thật vậy , ta có :
1/1 + 1/2^2 + 1/3^2 + .... + 1/n^2
< 1/1 + 1/1x2 + 1/2x3 + .... + 1/(n-1)n
= 2-1/n <2
Vậy đây là dãy số tăng bị chặn trên bởi 2 nên nó hội tụ ( tức là có giới hạn ) .
hoangtubelarus
member
REF: 72332
03/08/2006
xuất sắc đó mp à, nhưng mà vậy thì hoangtu đã làm đến lâu rồi. Hoang tu còn có thể khẳng định chuỗi này hội tụ bằng tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Tuy nhiên, đó chỉ là 1 vấn đề nhỏ trong bài toán lớn là tìm tổng của chuỗi đó. Vậy nên xin mời mp tiếp tục nha. A` tiên sinh VXQ đâu rồi, sao chưa xuất chiêu vậy?
manhphu
member
REF: 73095
03/13/2006
Giới hạn của dãy số này là 1+(pi)^2/6
Chỉ có thể nói như thế , hình như bài này không giải được bằng toán học sơ cấp . Mp bó tay ...
